Theorem hfuni 33645

Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfuni	⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankuni 9292	. . 3 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) = ∪ (rank‘𝐴)
2		rankon 9224	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
3	2	ontrci 6296	. . . . 5 ⊢ Tr (rank‘𝐴)
4		df-tr 5173	. . . . 5 ⊢ (Tr (rank‘𝐴) ↔ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴)
6		elhf2g 33637	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
7	6	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
8		rankon 9224	. . . . . . 7 ⊢ (rank‘∪ 𝐴) ∈ On
9	1, 8	eqeltrri 2910	. . . . . 6 ⊢ ∪ (rank‘𝐴) ∈ On
10	9	onordi 6295	. . . . 5 ⊢ Ord ∪ (rank‘𝐴)
11		ordom 7589	. . . . 5 ⊢ Ord ω
12		ordtr2 6235	. . . . 5 ⊢ ((Ord ∪ (rank‘𝐴) ∧ Ord ω) → ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω))
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((∪ (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ∈ ω) → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
14	5, 7, 13	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ (rank‘𝐴) ∈ ω)
15	1, 14	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω)
16		uniexg 7466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ V)
17		elhf2g 33637	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (∪ 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘∪ 𝐴) ∈ ω))
19	15, 18	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∪ 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838  Tr wtr 5172  Ord word 6190  Oncon0 6191  ‘cfv 6355  ωcom 7580  rankcrnk 9192   Hf chf 33633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-reg 9056  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-r1 9193  df-rank 9194  df-hf 33634

This theorem is referenced by: (None)