Theorem hilid 28348

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hilid	⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Proof of Theorem hilid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 28347	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 27731	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 28187	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6213	. . . . 5 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 27705	. . . 4 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
8	6, 7	grpoidval 27697	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
10		hvaddid2 28210	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥)
11	10	rgen 3060	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥
12		ax-hv0cl 28190	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
13	6	grpoideu 27693	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥)
14	3, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥
15		oveq1 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (0ℎ +ℎ 𝑥))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
17	16	ralbidv 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥))
18	17	riota2 6797	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ))
19	12, 14, 18	mp2an 710	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (0ℎ +ℎ 𝑥) = 𝑥 ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ)
20	11, 19	mpbi 220	. 2 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑦 +ℎ 𝑥) = 𝑥) = 0ℎ
21	9, 20	eqtri 2782	1 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃!wreu 3052   × cxp 5264  ‘cfv 6049  ℩crio 6774  (class class class)co 6814  GrpOpcgr 27673  GIdcgi 27674  AbelOpcablo 27728   ℋchil 28106   +_ℎ cva 28107  0_ℎc0v 28111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ablo 27729  df-hvsub 28158

This theorem is referenced by:  hhnv  28352  hh0v  28355  hhssabloilem  28448