HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr1 27794
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11084 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
2 hvmulcl 27758 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
31, 2mpan 705 . . . 4 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
4 ax-hvdistr1 27753 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
53, 4syl3an3 1358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))))
6 hvmulcom 27788 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
71, 6mp3an2 1409 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (-1 · 𝐶)) = (-1 · (𝐴 · 𝐶)))
87oveq2d 6631 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
983adant2 1078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
105, 9eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
11 hvsubval 27761 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
12113adant1 1077 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 + (-1 · 𝐶)))
1312oveq2d 6631 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 + (-1 · 𝐶))))
14 hvmulcl 27758 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 27758 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubval 27761 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
1915, 17, 18syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (-1 · (𝐴 · 𝐶))))
2010, 13, 193eqtr4d 2665 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  1c1 9897  -cneg 10227  chil 27664   + cva 27665   · csm 27666   cmv 27670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-hfvmul 27750  ax-hvmulass 27752  ax-hvdistr1 27753
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228  df-neg 10229  df-hvsub 27716
This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  27797  hvmulcan  27817
  Copyright terms: Public domain W3C validator