Theorem hvsubdistr1 28826

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11752	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		hvmulcl 28790	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3	1, 2	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4		ax-hvdistr1 28785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
5	3, 4	syl3an3 1161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
6		hvmulcom 28820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
7	1, 6	mp3an2 1445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) = (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
8	7	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
9	8	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (𝐴 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
10	5, 9	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
11		hvsubval 28793	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
12	11	3adant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
13	12	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = (𝐴 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))))
14		hvmulcl 28790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 28790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubval 28793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
19	15, 17, 18	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶))))
20	10, 13, 19	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  1c1 10538  -cneg 10871   ℋchba 28696   +_ℎ cva 28697   ·_ℎ csm 28698   −_ℎ cmv 28702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulass 28784  ax-hvdistr1 28785

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873  df-hvsub 28748

This theorem is referenced by:  hvsubdistr1i  28829  hvmulcan  28849