Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indf 29211
Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 29209 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 0re 9896 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 ifpr 4179 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
52, 3, 4mp2an 703 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6 prcom 4210 . . . 4 {1, 0} = {0, 1}
75, 6eleqtri 2685 . . 3 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
87a1i 11 . 2 (((𝑂𝑉𝐴𝑂) ∧ 𝑥𝑂) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
91, 8fmpt3d 6278 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  wss 3539  ifcif 4035  {cpr 4126  wf 5786  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  𝟭cind 29206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-ind 29207
This theorem is referenced by:  indpi1  29217  indsum  29218  indpreima  29220  indf1ofs  29221
  Copyright terms: Public domain W3C validator