Theorem indf 31274

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 31272	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2		1re 10641	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10643	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ifpr 4629	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6		prcom 4668	. . . 4 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
7	5, 6	eleqtri 2911	. . 3 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	1, 8	fmpt3d 6880	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  {cpr 4569  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538  𝟭cind 31269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-ind 31270

This theorem is referenced by:  indpi1  31279  indsum  31280  indsumin  31281  prodindf  31282  indpreima  31284  indf1ofs  31285  breprexpnat  31905  circlemethnat  31912