Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfd 40251
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfd.a 𝑎𝜑
issmfd.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfd.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfd.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfd.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfd (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfd
StepHypRef Expression
1 issmfd.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
21fdmd 38894 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfd.d . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
42, 3eqsstrd 3618 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
51ffdmd 6020 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6 issmfd.a . . . 4 𝑎𝜑
7 issmfd.p . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
82rabeqd 38761 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
92oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐹) = (𝑆t 𝐷))
108, 9eleq12d 2692 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
127, 11mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
1312ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 2951 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1240 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
16 issmfd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2621 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmf 40244 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879   < clt 10018  t crest 16002  SAlgcsalg 39835  SMblFncsmblfn 40216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-smblfn 40217
This theorem is referenced by:  sssmf  40254  mbfresmf  40255  cnfsmf  40256  incsmf  40258  smfsssmf  40259  smfres  40304  smfco  40316
  Copyright terms: Public domain W3C validator