Theorem latpos 17660

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 17657	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 500	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5553  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  Posetcpo 17550  joincjn 17554  meetcmee 17555  Latclat 17655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fv 6363  df-lat 17656

This theorem is referenced by:  latref  17663  latasymb  17664  lattr  17666  latjcom  17669  latjle12  17672  latleeqj1  17673  latmcom  17685  latlem12  17688  latleeqm1  17689  atlpos  36452  cvlposN  36478  hlpos  36517