Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswco 13565
 Description: Mapping of (nonempty) words commutes with the "last symbol" operation. This theorem would not hold if 𝑊 = ∅, (𝐹‘∅) ≠ ∅ and ∅ ∈ 𝐴, because then ( lastS ‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = ( lastS ‘∅) = ∅ ≠ (𝐹‘∅) = (𝐹( lastS ‘𝑊)). (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ( lastS ‘(𝐹𝑊)) = (𝐹‘( lastS ‘𝑊)))

Proof of Theorem lswco
StepHypRef Expression
1 ffun 6035 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
21anim1i 591 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑊 ∈ Word 𝐴) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
32ancoms 469 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
433adant2 1078 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
5 cofunexg 7115 . . 3 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
6 lsw 13334 . . 3 ((𝐹𝑊) ∈ V → ( lastS ‘(𝐹𝑊)) = ((𝐹𝑊)‘((#‘(𝐹𝑊)) − 1)))
74, 5, 63syl 18 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ( lastS ‘(𝐹𝑊)) = ((𝐹𝑊)‘((#‘(𝐹𝑊)) − 1)))
8 lenco 13559 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
983adant2 1078 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
109oveq1d 6650 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((#‘(𝐹𝑊)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
1110fveq2d 6182 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((#‘(𝐹𝑊)) − 1)) = ((𝐹𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)))
12 wrdf 13293 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴)
14 lennncl 13308 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
15 fzo0end 12544 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
1713, 16jca 554 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
18173adant3 1079 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
19 fvco3 6262 . . . 4 ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝐴 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))))
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))))
21 lsw 13334 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
22213ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2322eqcomd 2626 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
2423fveq2d 6182 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))) = (𝐹‘( lastS ‘𝑊)))
2520, 24eqtrd 2654 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝐹‘( lastS ‘𝑊)))
267, 11, 253eqtrd 2658 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ( lastS ‘(𝐹𝑊)) = (𝐹‘( lastS ‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  Vcvv 3195  ∅c0 3907   ∘ ccom 5108  Fun wfun 5870  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   − cmin 10251  ℕcn 11005  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator