Theorem wrdf 13867

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 13864	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 13809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6500	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3281	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 219	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℕ₀cn0 11898  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863

This theorem is referenced by:  iswrdb  13868  wrddm  13869  wrdsymbcl  13876  wrdfn  13877  wrdffz  13885  0wrd0  13890  wrdsymb  13893  wrdnval  13896  wrdred1  13912  wrdred1hash  13913  ccatcl  13926  ccatalpha  13947  s1dm  13962  swrdcl  14007  swrdf  14012  swrdwrdsymb  14024  pfxres  14041  cats1un  14083  revcl  14123  revlen  14124  revrev  14129  repsdf2  14140  cshwf  14162  cshinj  14173  wrdco  14193  lenco  14194  revco  14196  ccatco  14197  lswco  14201  s2dm  14252  wwlktovf  14320  ofccat  14329  gsumwsubmcl  18001  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  gsumwmhm  18010  frmdss2  18028  symgtrinv  18600  psgnunilem5  18622  psgnunilem2  18623  psgnunilem3  18624  efginvrel1  18854  efgsf  18855  efgsrel  18860  efgs1b  18862  efgredlemf  18867  efgredlemd  18870  efgredlemc  18871  efgredlem  18873  frgpup3lem  18903  pgpfaclem1  19203  ablfaclem2  19208  ablfaclem3  19209  ablfac2  19211  dchrptlem1  25840  dchrptlem2  25841  trgcgrg  26301  tgcgr4  26317  wrdupgr  26870  wrdumgr  26882  vdegp1ai  27318  vdegp1bi  27319  wlkres  27452  wlkp1  27463  wlkdlem1  27464  trlf1  27480  trlreslem  27481  upgrwlkdvdelem  27517  pthdlem1  27547  pthdlem2lem  27548  uspgrn2crct  27586  wlkiswwlks2lem3  27649  wlkiswwlksupgr2  27655  clwlkclwwlklem2a  27776  clwlkclwwlklem2  27778  1wlkdlem1  27916  wlk2v2e  27936  eucrctshift  28022  konigsbergssiedgw  28029  wrdfd  30612  wrdres  30613  pfxf1  30618  s3f1  30623  ccatf1  30625  swrdrn3  30629  cycpmcl  30758  tocyc01  30760  cycpmco2rn  30767  cycpmrn  30785  tocyccntz  30786  cycpmconjslem2  30797  sseqf  31650  fiblem  31656  ofcccat  31813  signstcl  31835  signstf  31836  signstfvn  31839  signsvtn0  31840  signstres  31845  signsvtp  31853  signsvtn  31854  signsvfpn  31855  signsvfnn  31856  signshf  31858  revwlk  32371  mvrsfpw  32753  frlmfzowrdb  39192  amgm2d  40600  amgm3d  40601  amgm4d  40602  lswn0  43653  amgmw2d  44954