MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13107
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13104 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 475 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13039 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (#‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 6539 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 5926 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 245 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3005 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 205 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1975  wrex 2892  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  0cn0 11135  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096
This theorem is referenced by:  iswrdb  13108  wrddm  13109  wrdsymbcl  13115  wrdfn  13116  wrdv  13117  wrdffz  13123  0wrd0  13128  wrdnval  13132  ccatcl  13154  ccatass  13166  ccatrn  13167  ccatalpha  13170  s1dm  13183  swrdcl  13213  swrd0val  13215  swrdf  13219  swrdnd2  13227  ccatswrd  13250  swrdccat1  13251  swrdccat2  13252  cats1un  13269  revcl  13303  revlen  13304  revccat  13308  revrev  13309  repsdf2  13318  cshwf  13339  cshinj  13350  wrdco  13370  lenco  13371  revco  13373  ccatco  13374  lswco  13377  s2dm  13427  wwlktovf  13489  ofccat  13498  gsumwsubmcl  17140  gsumccat  17143  gsumwmhm  17147  frmdss2  17165  symgtrinv  17657  psgnunilem5  17679  psgnunilem2  17680  psgnunilem3  17681  efginvrel1  17906  efgsf  17907  efgsrel  17912  efgs1b  17914  efgredlemf  17919  efgredlemd  17922  efgredlemc  17923  efgredlem  17925  frgpup3lem  17955  pgpfaclem1  18245  ablfaclem2  18250  ablfaclem3  18251  ablfac2  18253  dchrptlem1  24702  dchrptlem2  24703  trgcgrg  25124  tgcgr4  25140  wrdumgra  25607  usgrwlknloop  25855  is2wlk  25857  redwlklem  25897  redwlk  25898  wlkdvspthlem  25899  usgra2wlkspthlem1  25909  usgra2wlkspthlem2  25910  nvnencycllem  25933  constr3trllem2  25941  4cycl4dv  25957  wlkiswwlk1  25980  wlkiswwlk2lem3  25983  clwlkisclwwlklem2a  26075  clwlkisclwwlklem1  26077  vdegp1ai  26273  vdegp1bi  26274  sseqf  29583  fiblem  29589  wrdres  29745  ofcccat  29748  signstcl  29770  signstf  29771  signstfvn  29774  signsvtn0  29775  signstres  29780  signsvtp  29788  signsvtn  29789  signsvfpn  29790  signsvfnn  29791  signshf  29793  mvrsfpw  30459  amgm2d  37322  amgm3d  37323  amgm4d  37324  wrdred1  40041  wrdred1hash  40042  lswn0  40043  pfxres  40052  ccatpfx  40073  wrdupgr  40309  wrdumgr  40320  vdegp1ai-av  40750  vdegp1bi-av  40751  1wlkreslem  40876  1wlkres  40877  1wlkp1  40888  1wlkdlem1  40889  trlf1  40904  trlreslem  40905  upgrwlkdvdelem  40940  pthdlem1  40970  pthdlem2lem  40971  uspgrn2crct  41009  1wlkiswwlks2lem3  41066  1wlkiswwlksupgr2  41072  clwlkclwwlklem2a  41205  clwlkclwwlklem2  41207  11wlkdlem1  41302  1wlk2v2e  41322  eucrctshift  41409  konigsbergssiedgw  41417  amgmw2d  42318
  Copyright terms: Public domain W3C validator