MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdf 13265
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 13262 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3 fnfzo0hash 13188 . . . . . 6 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (#‘𝑊) = 𝑙)
43oveq2d 6631 . . . . 5 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑙))
54feq2d 5998 . . . 4 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
62, 5mpbird 247 . . 3 ((𝑙 ∈ ℕ0𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
76rexlimiva 3023 . 2 (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
81, 7sylbi 207 1 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wrex 2909  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  0cn0 11252  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254
This theorem is referenced by:  iswrdb  13266  wrddm  13267  wrdsymbcl  13273  wrdfn  13274  wrdv  13275  wrdffz  13281  0wrd0  13286  wrdnval  13290  wrdred1  13304  wrdred1hash  13305  ccatcl  13314  ccatass  13326  ccatrn  13327  ccatalpha  13330  s1dm  13343  swrdcl  13373  swrd0val  13375  swrdf  13379  swrdnd2  13387  ccatswrd  13410  swrdccat1  13411  swrdccat2  13412  cats1un  13429  revcl  13463  revlen  13464  revccat  13468  revrev  13469  repsdf2  13478  cshwf  13499  cshinj  13510  wrdco  13530  lenco  13531  revco  13533  ccatco  13534  lswco  13537  s2dm  13587  wwlktovf  13649  ofccat  13658  gsumwsubmcl  17315  gsumccat  17318  gsumwmhm  17322  frmdss2  17340  symgtrinv  17832  psgnunilem5  17854  psgnunilem2  17855  psgnunilem3  17856  efginvrel1  18081  efgsf  18082  efgsrel  18087  efgs1b  18089  efgredlemf  18094  efgredlemd  18097  efgredlemc  18098  efgredlem  18100  frgpup3lem  18130  pgpfaclem1  18420  ablfaclem2  18425  ablfaclem3  18426  ablfac2  18428  dchrptlem1  24923  dchrptlem2  24924  trgcgrg  25344  tgcgr4  25360  wrdupgr  25910  wrdumgr  25921  vdegp1ai  26352  vdegp1bi  26353  wlkreslem  26469  wlkres  26470  wlkp1  26481  wlkdlem1  26482  trlf1  26498  trlreslem  26499  upgrwlkdvdelem  26535  pthdlem1  26565  pthdlem2lem  26566  uspgrn2crct  26603  wlkiswwlks2lem3  26660  wlkiswwlksupgr2  26666  clwlkclwwlklem2a  26800  clwlkclwwlklem2  26802  1wlkdlem1  26897  wlk2v2e  26917  eucrctshift  27003  konigsbergssiedgw  27011  sseqf  30277  fiblem  30283  wrdres  30439  ofcccat  30442  signstcl  30464  signstf  30465  signstfvn  30468  signsvtn0  30469  signstres  30474  signsvtp  30482  signsvtn  30483  signsvfpn  30484  signsvfnn  30485  signshf  30487  mvrsfpw  31164  amgm2d  38022  amgm3d  38023  amgm4d  38024  lswn0  40708  pfxres  40717  ccatpfx  40738  amgmw2d  41883
  Copyright terms: Public domain W3C validator