Theorem nelsubgcld 39205

Description: A non-subgroup-member plus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgcld.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 18275	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		nelsubgcld.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	5, 10	grpcl 18106	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 9, 11	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13	2	eldifbd 3942	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
14		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	5, 10, 14	grppncan 18185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
16	1, 3, 9, 15	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
17	16	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) = 𝑋)
18	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
20	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
21	14	subgsubcl 18285	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1366	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝑆)
23	17, 22	eqeltrrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
24	13, 23	mtand 814	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
25	12, 24	eldifd 3940	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3926   ⊆ wss 3929  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560  Grpcgrp 18098  -_gcsg 18100  SubGrpcsubg 18268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271

This theorem is referenced by:  nelsubgsubcld  39206