MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmallnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmallnq 9743
Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnq (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq
StepHypRef Expression
1 halfnq 9742 . 2 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2 eleq1a 2693 . . . . 5 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3 addnqf 9714 . . . . . . . 8 +Q :(Q × Q)⟶Q
43fdmi 6009 . . . . . . 7 dom +Q = (Q × Q)
5 0nnq 9690 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ Q
64, 5ndmovrcl 6773 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥Q𝑥Q))
7 ltaddnq 9740 . . . . . 6 ((𝑥Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
92, 8syl6 35 . . . 4 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10 breq2 4617 . . . 4 ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
119, 10mpbidi 231 . . 3 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q 𝐴))
1211eximdv 1843 . 2 (𝐴Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
131, 12mpd 15 1 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987   class class class wbr 4613   × cxp 5072  (class class class)co 6604  Qcnq 9618   +Q cplq 9621   <Q cltq 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ni 9638  df-pli 9639  df-mi 9640  df-lti 9641  df-plpq 9674  df-mpq 9675  df-ltpq 9676  df-enq 9677  df-nq 9678  df-erq 9679  df-plq 9680  df-mq 9681  df-1nq 9682  df-rq 9683  df-ltnq 9684
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  9744  nqpr  9780  reclem2pr  9814
  Copyright terms: Public domain W3C validator