MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul1c 11390
Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul1c (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 11338 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2679 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
7 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
86, 7num0u 11336 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9 0nn0 11150 . . 3 0 ∈ ℕ0
102, 9num0h 11337 . . 3 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0cni 11147 . . . . . 6 𝐸 ∈ ℂ
1413addid2i 10071 . . . . 5 (0 + 𝐸) = 𝐸
1514oveq2i 6534 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16 nummul1c.8 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
1715, 16eqtri 2627 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
184, 7num0u 11336 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19 nummul1c.9 . . . 4 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
2018, 19eqtr3i 2629 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
212, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20nummac 11386 . 2 ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
228, 21eqtri 2627 1 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  0cc0 9788   + caddc 9791   · cmul 9793  0cn0 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115  df-nn 10864  df-n0 11136
This theorem is referenced by:  nummul2c  11391  decmul1  11413  decmul1OLD  11414  decmul1c  11415  decmul1cOLD  11416
  Copyright terms: Public domain W3C validator