MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2i 10076
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by NM, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid2i (0 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem addid2i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid2 10071 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (0 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793   + caddc 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936
This theorem is referenced by:  ine0  10317  muleqadd  10523  inelr  10860  0p1e1  10982  num0h  11344  nummul1c  11397  decrmac  11412  decmul1  11420  decmul1OLD  11421  fz0tp  12267  fz0to4untppr  12269  fzo0to3tp  12379  cats1fvn  13403  rei  13693  imi  13694  ef01bndlem  14702  gcdaddmlem  15032  dec5dvds2  15556  2exp16  15584  43prm  15616  83prm  15617  139prm  15618  163prm  15619  317prm  15620  631prm  15621  1259lem1  15625  1259lem2  15626  1259lem3  15627  1259lem4  15628  1259lem5  15629  2503lem1  15631  2503lem2  15632  2503lem3  15633  2503prm  15634  4001lem1  15635  4001lem2  15636  4001lem3  15637  4001prm  15639  frgpnabllem1  18048  pcoass  22580  dvradcnv  23924  efhalfpi  23972  sinq34lt0t  24010  efifo  24042  logm1  24084  argimgt0  24107  ang180lem4  24287  1cubr  24314  asin1  24366  atanlogsublem  24387  dvatan  24407  log2ublem3  24420  log2ub  24421  basellem9  24560  cht2  24643  log2sumbnd  24978  ax5seglem7  25561  ex-fac  26494  dirkertrigeqlem1  38815  dirkertrigeqlem3  38817  fourierdlem103  38926  sqwvfoura  38945  sqwvfourb  38946  fouriersw  38948  fmtno5lem1  39828  fmtno5lem2  39829  fmtno5lem4  39831  fmtno4prmfac  39847  fmtno5faclem2  39855  fmtno5faclem3  39856  fmtno5fac  39857  139prmALT  39874  127prm  39878  2exp11  39880
  Copyright terms: Public domain W3C validator