MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2i 10436
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by NM, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid2i (0 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem addid2i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid2 10431 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (0 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   + caddc 10151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291
This theorem is referenced by:  ine0  10677  muleqadd  10883  inelr  11222  0p1e1  11344  num0h  11721  nummul1c  11774  decrmac  11789  decmul1  11797  decmul1OLD  11798  fz0tp  12654  fz0to4untppr  12656  fzo0to3tp  12768  cats1fvn  13823  rei  14115  imi  14116  ef01bndlem  15133  gcdaddmlem  15467  dec5dvds2  15991  2exp16  16019  43prm  16051  83prm  16052  139prm  16053  163prm  16054  317prm  16055  631prm  16056  1259lem1  16060  1259lem2  16061  1259lem3  16062  1259lem4  16063  1259lem5  16064  2503lem1  16066  2503lem2  16067  2503lem3  16068  2503prm  16069  4001lem1  16070  4001lem2  16071  4001lem3  16072  4001prm  16074  frgpnabllem1  18496  pcoass  23044  dvradcnv  24394  efhalfpi  24443  sinq34lt0t  24481  efifo  24513  logm1  24555  argimgt0  24578  ang180lem4  24762  1cubr  24789  asin1  24841  atanlogsublem  24862  dvatan  24882  log2ublem3  24895  log2ub  24896  basellem9  25035  cht2  25118  log2sumbnd  25453  ax5seglem7  26035  ex-fac  27640  dp20h  29916  dpmul4  29952  hgt750lem2  31060  dirkertrigeqlem1  40836  dirkertrigeqlem3  40838  fourierdlem103  40947  sqwvfoura  40966  sqwvfourb  40967  fouriersw  40969  fmtno5lem1  41993  fmtno5lem2  41994  fmtno5lem4  41996  fmtno4prmfac  42012  fmtno5faclem2  42020  fmtno5faclem3  42021  fmtno5fac  42022  139prmALT  42039  127prm  42043  2exp11  42045
  Copyright terms: Public domain W3C validator