MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numth2 9153
Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 20-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
numth.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
numth2 𝑥 ∈ On 𝑥𝐴
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem numth2
StepHypRef Expression
1 numth.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 numth3 9152 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ∈ dom card
4 isnum2 8631 . 2 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐴)
53, 4mpbi 218 1 𝑥 ∈ On 𝑥𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  Oncon0 5626  cen 7815  cardccrd 8621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-ac2 9145
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-en 7819  df-card 8625  df-ac 8799
This theorem is referenced by:  numth  9154  numthcor  9176
  Copyright terms: Public domain W3C validator