Theorem odd2np1ALTV 43859

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1ALTV	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1ALTV

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibar 531	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))))
2		eqcom 2828	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
4	3	rexbidv 3297	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
5		eqeq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
6	5	rexbidv 3297	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
7		dfodd6 43822	. . . 4 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑛) + 1)}
8	6, 7	elrab2 3683	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1)))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1))))
10	1, 4, 9	3bitr4rd 314	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  ℤcz 11982   Odd codd 43810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-odd 43812

This theorem is referenced by:  oexpnegALTV  43862  oexpnegnz  43863