Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpnegALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpnegALTV 40903
Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
oexpnegALTV ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))

Proof of Theorem oexpnegALTV
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 40859 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2 odd2np1ALTV 40900 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Odd ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
43biimpd 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
54pm2.43i 52 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
65adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
763adant1 1077 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
8 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
10 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110nncnd 10983 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
12 1cnd 10003 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
13 2z 11356 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
14 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
15 zmulcl 11373 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
1613, 14, 15sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
1716zcnd 11430 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1811, 12, 17subadd2d 10358 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
199, 18mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑛))
20 nnm1nn0 11281 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2219, 21eqeltrrd 2699 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
238, 22expcld 12951 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
2423, 8mulneg2d 10431 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
25 sqneg 12866 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
268, 25syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq1d 6622 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑2)↑𝑛) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
288negcld 10326 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
29 2re 11037 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
3114zred 11429 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
32 2pos 11059 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 < 2)
3422nn0ge0d 11301 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
35 prodge0 10817 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
3630, 31, 33, 34, 35syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ 𝑛)
37 elnn0z 11337 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
3814, 36, 37sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39 2nn0 11256 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℕ0)
4128, 38, 40expmuld 12954 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((-𝐴↑2)↑𝑛))
428, 38, 40expmuld 12954 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
4327, 41, 423eqtr4d 2665 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = (𝐴↑(2 · 𝑛)))
4443oveq1d 6622 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
4528, 22expp1d 12952 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
469oveq2d 6623 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (-𝐴𝑁))
4745, 46eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴𝑁))
4844, 47eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴𝑁))
4924, 48eqtr3d 2657 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (-𝐴𝑁))
508, 22expp1d 12952 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
519oveq2d 6623 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐴𝑁))
5250, 51eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (𝐴𝑁))
5352negeqd 10222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = -(𝐴𝑁))
5449, 53eqtr3d 2657 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))
557, 54rexlimddv 3028 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  -cneg 10214  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  cz 11324  cexp 12803   Odd codd 40853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-seq 12745  df-exp 12804  df-odd 40855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator