MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res2 22490
Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.9 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
oprpiece1.10 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
oprpiece1.11 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
oprpiece1.12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res2
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
2 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32rexri 9948 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
4 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
54rexri 9948 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
6 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
7 ubicc2 12116 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83, 5, 6, 7mp3an 1415 . . . 4 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 12071 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
101, 8, 9mp2an 703 . . 3 (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 3586 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpt2 6634 . . 3 (((𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 703 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5300 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶))
16 oprpiece1.12 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
17 oprpiece1.11 . . . . . . 7 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
1817ad2antlr 758 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑃 = 𝑄)
19 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
202, 4elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐾𝐾𝐵))
2120simp1bi 1068 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ℝ
2322, 4elicc2i 12066 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾𝑥𝑥𝐵))
2423simp2bi 1069 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝐾𝑥)
2524ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾𝑥)
2623simp1bi 1068 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 letri3 9974 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
2927, 22, 28sylancl 692 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
3019, 25, 29mpbir2and 958 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 = 𝐾)
31 oprpiece1.9 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑃)
33 oprpiece1.10 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑄)
3518, 32, 343eqtr4d 2653 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑆)
36 eqidd 2610 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ ¬ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑆)
3735, 36ifeqda 4070 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
3837mpt2eq3ia 6596 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
3916, 38eqtr4i 2634 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
4013, 15, 393eqtr4i 2641 1 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035   class class class wbr 4577   × cxp 5026  cres 5030  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cr 9791  *cxr 9929  cle 9931  [,]cicc 12005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-icc 12009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator