MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprpiece1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oprpiece1res2 22798
Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oprpiece1.1 𝐴 ∈ ℝ
oprpiece1.2 𝐵 ∈ ℝ
oprpiece1.3 𝐴𝐵
oprpiece1.4 𝑅 ∈ V
oprpiece1.5 𝑆 ∈ V
oprpiece1.6 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
oprpiece1.7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
oprpiece1.9 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
oprpiece1.10 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
oprpiece1.11 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
oprpiece1.12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
oprpiece1res2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem oprpiece1res2
StepHypRef Expression
1 oprpiece1.6 . . . 4 𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵)
2 oprpiece1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32rexri 10135 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ*
4 oprpiece1.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
54rexri 10135 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ*
6 oprpiece1.3 . . . . 5 𝐴𝐵
7 ubicc2 12327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83, 5, 6, 7mp3an 1464 . . . 4 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)
9 iccss2 12282 . . . 4 ((𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
101, 8, 9mp2an 708 . . 3 (𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
11 ssid 3657 . . 3 𝐶𝐶
12 resmpt2 6800 . . 3 (((𝐾[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝐶) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)))
1310, 11, 12mp2an 708 . 2 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
14 oprpiece1.7 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
1514reseq1i 5424 . 2 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶))
16 oprpiece1.12 . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
17 oprpiece1.11 . . . . . . 7 (𝑦𝐶𝑃 = 𝑄)
1817ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑃 = 𝑄)
19 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
202, 4elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐾𝐾𝐵))
2120simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ℝ
2322, 4elicc2i 12277 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾𝑥𝑥𝐵))
2423simp2bi 1097 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝐾𝑥)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾𝑥)
2623simp1bi 1096 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2726ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
28 letri3 10161 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
2927, 22, 28sylancl 695 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ↔ (𝑥𝐾𝐾𝑥)))
3019, 25, 29mpbir2and 977 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 = 𝐾)
31 oprpiece1.9 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑅 = 𝑃)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑃)
33 oprpiece1.10 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾𝑆 = 𝑄)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑄)
3518, 32, 343eqtr4d 2695 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑅 = 𝑆)
36 eqidd 2652 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) ∧ ¬ 𝑥𝐾) → 𝑆 = 𝑆)
3735, 36ifeqda 4154 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵) ∧ 𝑦𝐶) → if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆) = 𝑆)
3837mpt2eq3ia 6762 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆)) = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶𝑆)
3916, 38eqtr4i 2676 . 2 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐾[,]𝐵), 𝑦𝐶 ↦ if(𝑥𝐾, 𝑅, 𝑆))
4013, 15, 393eqtr4i 2683 1 (𝐹 ↾ ((𝐾[,]𝐵) × 𝐶)) = 𝐺
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685   × cxp 5141  cres 5145  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  cr 9973  *cxr 10111  cle 10113  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator