MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3 10120
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 10118 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2 ancom 466 . . 3 ((¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2syl6bbr 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
4 lenlt 10113 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 lenlt 10113 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
65ancoms 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
74, 6anbi12d 747 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
83, 7bitr4d 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989   class class class wbr 4651  cr 9932   < clt 10071  cle 10072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077
This theorem is referenced by:  eqlelt  10122  eqlei  10144  eqlei2  10145  letri3i  10150  letri3d  10176  lesub0  10542  eqord1  10553  lbreu  10970  nnle1eq1  11045  nn0le0eq0  11318  zextle  11447  uz11  11707  uzin  11717  uzwo  11748  qsqueeze  12029  elfz1eq  12349  faclbnd4lem4  13078  swrdccat3blem  13489  repswswrd  13525  sqeqd  13900  max0add  14044  fsum00  14524  reef11  14843  dvdsabseq  15029  nn0seqcvgd  15277  infpnlem1  15608  psrbaglesupp  19362  gzrngunit  19806  nmoeq0  22534  oprpiece1res2  22745  pcoval2  22810  minveclem7  23200  pjthlem1  23202  iblposlem  23552  dvferm  23745  dveq0  23757  dv11cn  23758  fta1blem  23922  dgrco  24025  aalioulem3  24083  logf1o2  24390  cxpsqrtlem  24442  ang180lem3  24535  chpeq0  24927  chteq0  24928  lgsdir  25051  lgsabs1  25055  minvecolem7  27723  pjhthlem1  28234  pjnormssi  29011  hstles  29074  stge1i  29081  stle0i  29082  stlesi  29084  cdj3lem1  29277  derangen  31139  bfplem2  33602  bfp  33603  acongeq  37376  jm2.26lem3  37394  dvconstbi  38359  zgeltp1eq  41087  zgtp1leeq  42082
  Copyright terms: Public domain W3C validator