MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3 9970
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 9968 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2 ancom 464 . . 3 ((¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2syl6bbr 276 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
4 lenlt 9963 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 lenlt 9963 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
65ancoms 467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
74, 6anbi12d 742 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
83, 7bitr4d 269 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  cr 9787   < clt 9926  cle 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932
This theorem is referenced by:  eqlelt  9972  eqlei  9994  eqlei2  9995  letri3i  10000  letri3d  10026  lesub0  10390  eqord1  10401  lbreu  10818  nnle1eq1  10891  nn0le0eq0  11164  zextle  11278  uz11  11538  uzin  11548  uzwo  11579  qsqueeze  11861  elfz1eq  12174  faclbnd4lem4  12896  swrdccat3blem  13288  repswswrd  13324  sqeqd  13696  max0add  13840  fsum00  14313  reef11  14630  dvdsabseq  14815  nn0seqcvgd  15063  infpnlem1  15394  psrbaglesupp  19131  gzrngunit  19573  nmoeq0  22278  oprpiece1res2  22486  pcoval2  22551  minveclem7  22927  pjthlem1  22929  iblposlem  23277  dvferm  23468  dveq0  23480  dv11cn  23481  fta1blem  23645  dgrco  23748  aalioulem3  23806  logf1o2  24109  cxpsqrtlem  24161  ang180lem3  24254  chpeq0  24646  chteq0  24647  lgsdir  24770  lgsabs1  24774  minvecolem7  26925  pjhthlem1  27436  pjnormssi  28213  hstles  28276  stge1i  28283  stle0i  28284  stlesi  28286  cdj3lem1  28479  derangen  30210  bfplem2  32591  bfp  32592  acongeq  36367  jm2.26lem3  36385  dvconstbi  37354  zgeltp1eq  39744  zgtp1leeq  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator