MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 12247
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1060 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1061 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 11943 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1081 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 12177 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1079 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1243 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  *cxr 10033  cle 10035  [,]cicc 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-icc 12140
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  12283  iccpnfcnv  22683  oprpiece1res2  22691  ivthlem2  23161  ivth2  23164  ivthle  23165  ivthle2  23166  dyadmaxlem  23305  cmvth  23692  mvth  23693  dvlip  23694  c1liplem1  23697  dvgt0lem1  23703  lhop1lem  23714  dvcnvrelem1  23718  dvcvx  23721  dvfsumle  23722  dvfsumge  23723  dvfsumabs  23724  dvfsumlem2  23728  ftc2  23745  ftc2ditglem  23746  itgparts  23748  itgsubstlem  23749  efcvx  24141  pige3  24207  logccv  24343  loglesqrt  24433  pntlem3  25232  eliccioo  29466  xrge0iifcnv  29803  lmxrge0  29822  esumpinfval  29958  hashf2  29969  esumcvg  29971  ftc2re  30492  cvmliftlem7  31034  cvmliftlem10  31037  ivthALT  32025  ftc2nc  33165  areacirc  33176  itgpowd  37320  iccintsng  39195  pnfel0pnf  39200  limcicciooub  39305  icccncfext  39435  dvbdfbdioolem1  39480  itgsin0pilem1  39502  itgcoscmulx  39522  itgsincmulx  39527  itgsubsticc  39529  fourierdlem20  39681  fourierdlem54  39714  fourierdlem64  39724  fourierdlem81  39741  fourierdlem102  39762  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  fourierdlem114  39774  etransclem46  39834
  Copyright terms: Public domain W3C validator