Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumclN 35571
Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1085 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐶)
3 eqid 2651 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 osumcl.c . . . . 5 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 35545 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
61, 2, 5syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7 simpl3 1086 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐶)
83, 4psubclssatN 35545 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
91, 7, 8syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10 osumcl.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
113, 10paddssat 35418 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
121, 6, 9, 11syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13 simpll1 1120 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
153, 10padd02 35416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
161, 9, 15syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
1714, 16sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18 simpll3 1122 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐶)
1917, 18eqeltrd 2730 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20 osumcl.o . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
2120, 4psubcli2N 35543 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2213, 19, 21syl2anc 694 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2310, 20, 4osumcllem11N 35570 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2423anassrs 681 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2524eqcomd 2657 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2622, 25pm2.61dane 2910 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
273, 20, 4ispsubclN 35541 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
281, 27syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
2912, 26, 28mpbir2and 977 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  +𝑃cpadd 35399  𝑃cpolN 35506  PSubClcpscN 35538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-polarityN 35507  df-psubclN 35539
This theorem is referenced by:  pmapojoinN  35572  pexmidN  35573
  Copyright terms: Public domain W3C validator