Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapidclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapidclN 34040
Description: Projective map of the LUB of a closed subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapidcl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmapidcl.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapidcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapidclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → (𝑀‘(𝑈𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmapidclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2 pmapidcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
31, 2psubclssatN 34039 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
4 pmapidcl.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
5 pmapidcl.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6 eqid 2610 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
74, 1, 5, 62polvalN 34012 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
83, 7syldan 486 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
96, 2psubcli2N 34037 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
108, 9eqtr3d 2646 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → (𝑀‘(𝑈𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5790  lubclub 16714  Atomscatm 33362  HLchlt 33449  pmapcpmap 33595  𝑃cpolN 34000  PSubClcpscN 34032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7264  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-pmap 33602  df-polarityN 34001  df-psubclN 34033
This theorem is referenced by:  psubclinN  34046  paddatclN  34047
  Copyright terms: Public domain W3C validator