Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwinfi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwinfi3 37694
Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwinfi3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tskuni 9602 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
213expia 1266 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 𝑥𝑇))
3 tskpw 9572 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
43ex 450 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → 𝒫 𝑥𝑇))
54adantr 481 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 → 𝒫 𝑥𝑇))
62, 5jcad 555 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇)))
76ralrimiv 2964 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇))
8 pwinfig 37692 . 2 (∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
97, 8syl 17 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1989  wral 2911  cdif 3569  𝒫 cpw 4156   cuni 4434  Tr wtr 4750  Fincfn 7952  Tarskictsk 9567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-ac2 9282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-smo 7440  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-oi 8412  df-har 8460  df-r1 8624  df-card 8762  df-aleph 8763  df-cf 8764  df-acn 8765  df-ac 8936  df-wina 9503  df-ina 9504  df-tsk 9568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator