Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1fin 8580
 Description: The first ω levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . 3 (𝑛 = ∅ → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘∅))
21eleq1d 2683 . 2 (𝑛 = ∅ → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘∅) ∈ Fin))
3 fveq2 6148 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝑚))
43eleq1d 2683 . 2 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
5 fveq2 6148 . . 3 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1‘suc 𝑚))
65eleq1d 2683 . 2 (𝑛 = suc 𝑚 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
7 fveq2 6148 . . 3 (𝑛 = 𝐴 → (𝑅1𝑛) = (𝑅1𝐴))
87eleq1d 2683 . 2 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑅1𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑅1𝐴) ∈ Fin))
9 r10 8575 . . 3 (𝑅1‘∅) = ∅
10 0fin 8132 . . 3 ∅ ∈ Fin
119, 10eqeltri 2694 . 2 (𝑅1‘∅) ∈ Fin
12 r1funlim 8573 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1312simpri 478 . . . . . . . 8 Lim dom 𝑅1
14 limomss 7017 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ⊆ dom 𝑅1
1615sseli 3579 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ dom 𝑅1)
17 r1sucg 8576 . . . . . 6 (𝑚 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑅1‘suc 𝑚) = 𝒫 (𝑅1𝑚))
1918eleq1d 2683 . . . 4 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin))
20 pwfi 8205 . . . 4 ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑅1𝑚) ∈ Fin)
2119, 20syl6rbbr 279 . . 3 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin ↔ (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
2221biimpd 219 . 2 (𝑚 ∈ ω → ((𝑅1𝑚) ∈ Fin → (𝑅1‘suc 𝑚) ∈ Fin))
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 7039 1 (𝐴 ∈ ω → (𝑅1𝐴) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  dom cdm 5074  Lim wlim 5683  suc csuc 5684  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847  ωcom 7012  Fincfn 7899  𝑅1cr1 8569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-r1 8571 This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  9006  ackbij2  9009
 Copyright terms: Public domain W3C validator