MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfi 8117
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7838 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚)
2 pweq 4106 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
32eleq1d 2667 . . . . . 6 (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4 pweq 4106 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
54eleq1d 2667 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6 pweq 4106 . . . . . . . 8 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7 df-suc 5628 . . . . . . . . 9 suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
87pweqi 4107 . . . . . . . 8 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
96, 8syl6eq 2655 . . . . . . 7 (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
109eleq1d 2667 . . . . . 6 (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11 pw0 4278 . . . . . . . 8 𝒫 ∅ = {∅}
12 df1o2 7432 . . . . . . . 8 1𝑜 = {∅}
1311, 12eqtr4i 2630 . . . . . . 7 𝒫 ∅ = 1𝑜
14 1onn 7579 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
15 ssid 3582 . . . . . . . 8 1𝑜 ⊆ 1𝑜
16 ssnnfi 8037 . . . . . . . 8 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 1𝑜) → 1𝑜 ∈ Fin)
1714, 15, 16mp2an 703 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ Fin
1813, 17eqeltri 2679 . . . . . 6 𝒫 ∅ ∈ Fin
19 eqid 2605 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
2019pwfilem 8116 . . . . . . 7 (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
223, 5, 10, 18, 21finds1 6960 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23 pwen 7991 . . . . 5 (𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24 enfii 8035 . . . . 5 ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2522, 23, 24syl2an 492 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
2625rexlimiva 3005 . . 3 (∃𝑚 ∈ ω 𝐴𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
271, 26sylbi 205 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28 elex 3180 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
29 pwexb 6840 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
3028, 29sylibr 222 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
31 canth2g 7972 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
32 sdomdom 7842 . . . 4 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3330, 31, 323syl 18 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34 domfi 8039 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3533, 34mpdan 698 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3627, 35impbii 197 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  Vcvv 3168  cun 3533  wss 3535  c0 3869  𝒫 cpw 4103  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633  suc csuc 5624  ωcom 6930  1𝑜c1o 7413  cen 7811  cdom 7812  csdm 7813  Fincfn 7814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818
This theorem is referenced by:  mapfi  8118  r1fin  8492  dfac12k  8825  pwsdompw  8882  ackbij1lem5  8902  ackbij1lem9  8906  ackbij1lem10  8907  ackbij1lem14  8911  ackbij1b  8917  isfin1-2  9063  isfin1-3  9064  domtriomlem  9120  dominf  9123  dominfac  9247  gchhar  9353  omina  9365  gchina  9373  hashpw  13031  hashbclem  13041  qshash  14340  ackbijnn  14341  incexclem  14349  incexc  14350  incexc2  14351  hashbccl  15487  lagsubg2  17420  lagsubg  17421  orbsta2  17512  sylow1lem3  17780  sylow1lem5  17782  sylow2alem2  17798  sylow2a  17799  sylow2blem2  17801  sylow2blem3  17802  sylow3lem3  17809  sylow3lem4  17810  sylow3lem6  17812  pgpfac1lem5  18243  discmp  20949  cmpfi  20959  dis1stc  21050  1stckgenlem  21104  ptcmpfi  21364  fiufl  21468  musum  24630  qerclwwlknfi  26119  hasheuni  29276  coinfliplem  29669  ballotth  29728  erdszelem2  30230  kelac2lem  36451  pwinfig  36684  qerclwwlksnfi  41255
  Copyright terms: Public domain W3C validator