MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r10 8583
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at . Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r10 (𝑅1‘∅) = ∅

Proof of Theorem r10
StepHypRef Expression
1 df-r1 8579 . . 3 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
21fveq1i 6154 . 2 (𝑅1‘∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅)
3 0ex 4755 . . 3 ∅ ∈ V
43rdg0 7469 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅) = ∅
52, 4eqtri 2643 1 (𝑅1‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  Vcvv 3189  c0 3896  𝒫 cpw 4135  cmpt 4678  cfv 5852  reccrdg 7457  𝑅1cr1 8577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-r1 8579
This theorem is referenced by:  r1fin  8588  r1tr  8591  r1pwss  8599  r1val1  8601  rankeq0b  8675  ackbij2lem2  9014  ackbij2lem3  9015  wunr1om  9493  r1wunlim  9511  tskr1om  9541  inar1  9549  r1tskina  9556  grur1a  9593  grothomex  9603  rankeq1o  31955
  Copyright terms: Public domain W3C validator