Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpnul 36789
Description: If the domain and range of powers of a relation are disjoint then the relation raised to the sum of those exponents is empty. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpnul (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))

Proof of Theorem relexpnul
StepHypRef Expression
1 coeq0 5544 . 2 (((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅)
2 simprl 789 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simprr 791 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simpll 785 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑅𝑉)
5 simplr 787 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → Rel 𝑅)
65a1d 25 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
7 relexpaddg 13584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉 ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)))
82, 3, 4, 6, 7syl13anc 1319 . . 3 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)))
98eqeq1d 2608 . 2 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → (((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))
101, 9syl5bbr 272 1 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3535  c0 3870  dom cdm 5025  ran crn 5026  ccom 5029  Rel wrel 5030  (class class class)co 6524  1c1 9790   + caddc 9792  0cn0 11136  𝑟crelexp 13551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-seq 12616  df-relexp 13552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator