Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpnul 37789
Description: If the domain and range of powers of a relation are disjoint then the relation raised to the sum of those exponents is empty. (Contributed by RP, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpnul (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))

Proof of Theorem relexpnul
StepHypRef Expression
1 coeq0 5632 . 2 (((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅)
2 simprl 793 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simprr 795 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simpll 789 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → 𝑅𝑉)
5 simplr 791 . . . . 5 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → Rel 𝑅)
65a1d 25 . . . 4 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
7 relexpaddg 13774 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉 ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)))
82, 3, 4, 6, 7syl13anc 1326 . . 3 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)))
98eqeq1d 2622 . 2 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → (((𝑅𝑟𝑁) ∘ (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))
101, 9syl5bbr 274 1 (((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)) → ((dom (𝑅𝑟𝑁) ∩ ran (𝑅𝑟𝑀)) = ∅ ↔ (𝑅𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cin 3566  c0 3907  dom cdm 5104  ran crn 5105  ccom 5108  Rel wrel 5109  (class class class)co 6635  1c1 9922   + caddc 9924  0cn0 11277  𝑟crelexp 13741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785  df-relexp 13742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator