Theorem repswlsw 13323

Description: The last symbol of a nonempty "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswlsw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( lastS ‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑆)

Proof of Theorem repswlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11143	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		repsw 13316	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3	1, 2	sylan2 489	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
4		lsw 13147	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( lastS ‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)))
6		simpl 471	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ 𝑉)
7	1	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		repswlen 13317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
9	1, 8	sylan2 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
10	9	oveq1d 6539	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
11		fzo0end 12378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
12	11	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	10, 12	eqeltrd 2684	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		repswsymb 13315	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)) = 𝑆)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1317	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘((#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1)) = 𝑆)
16	5, 15	eqtrd 2640	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( lastS ‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5787  (class class class)co 6524  0cc0 9789  1c1 9790   − cmin 10114  ℕcn 10864  ℕ₀cn0 11136  ..^cfzo 12286  #chash 12931  Word cword 13089   lastS clsw 13090   repeatS creps 13096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-hash 12932  df-word 13097  df-lsw 13098  df-reps 13104

This theorem is referenced by: (None)