MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgr0edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgr0edg 26940
Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (#‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgr0edg ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg
StepHypRef Expression
1 simp2 1082 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃𝑉)
2 nnnn0 11337 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1104 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (#‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
64, 5rusgrnumwwlklem 26937 . . 3 ((𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
71, 3, 6syl2anc 694 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8 rusgrusgr 26516 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9 usgr0edg0rusgr 26527 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
109biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
118, 10mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝐺RegUSGraph0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12 0enwwlksnge1 26818 . . . . . . . . 9 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
1311, 12sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15 noel 3952 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑤 ∈ ∅
1615pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
1714, 16syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19183adant2 1100 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
2019ralrimiv 2994 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21 rabeq0 3990 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
2220, 21sylibr 224 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
2322fveq2d 6233 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (#‘∅))
24 hash0 13196 . . 3 (#‘∅) = 0
2523, 24syl6eq 2701 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
267, 25eqtrd 2685 1 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  cn 11058  0cn0 11330  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  USGraphcusgr 26089  RegUSGraphcrusgr 26508   WWalksN cwwlksn 26774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-vtxdg 26418  df-rgr 26509  df-rusgr 26510  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator