MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash0 12968
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0 (#‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . 2 ∅ = ∅
2 0ex 4710 . . 3 ∅ ∈ V
3 hasheq0 12964 . . 3 (∅ ∈ V → ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
42, 3ax-mp 5 . 2 ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
51, 4mpbir 219 1 (#‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  c0 3870  cfv 5787  0cc0 9789  #chash 12931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-hash 12932
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12971  hashrabsn01  12972  hashrabsn1  12973  hashge0  12986  elprchashprn2  12994  hashle00  12998  hash1  13002  hashsn01  13014  hashgt12el  13019  hashgt12el2  13020  hashfzo  13025  hashfzp1  13027  hashxplem  13029  hashmap  13031  hashbc  13043  hashf1lem2  13046  hashf1  13047  hash2pwpr  13062  lsw0g  13149  ccatlid  13165  ccatrid  13166  s1nzOLD  13183  rev0  13307  repswsymballbi  13321  fsumconst  14307  incexclem  14350  incexc  14351  fprodconst  14490  sumodd  14892  hashgcdeq  15275  prmreclem4  15404  prmreclem5  15405  0hashbc  15492  ramz2  15509  cshws0  15589  psgnunilem2  17681  psgnunilem4  17683  psgn0fv0  17697  psgnsn  17706  psgnprfval1  17708  efginvrel2  17906  efgredleme  17922  efgcpbllemb  17934  frgpnabllem1  18042  gsumconst  18100  ltbwe  19236  fta1g  23645  fta1  23781  birthdaylem3  24394  ppi1  24604  musum  24631  rpvmasum  24929  usgraedgprv  25668  usgra1v  25682  usgrafisindb0  25700  usgrafisindb1  25701  0wlk  25838  0trl  25839  0wlkon  25840  0pth  25863  0crct  25917  0cycl  25918  0clwlk  26056  vdgr0  26190  vdgr1b  26194  vdgr1a  26196  vdusgraval  26197  rusgranumwlkl1  26237  rusgra0edg  26245  eupath  26271  f1ocnt  28749  esumcst  29255  cntmeas  29419  ballotlemfval0  29687  signsvtn0  29776  signstfvneq0  29778  signstfveq0  29783  signsvf0  29786  derangsn  30209  subfacp1lem6  30224  poimirlem25  32404  poimirlem26  32405  poimirlem27  32406  poimirlem28  32407  rp-isfinite6  36683  fzisoeu  38255  umgrislfupgrlem  40346  lfuhgr1v0e  40479  uvtxa01vtx  40623  vtxdg0e  40688  vtxdlfgrval  40699  rusgr1vtxlem  40786  wspn0  41130  rusgrnumwwlkl1  41171  rusgr0edg  41175  0ewlk  41281  01wlk  41283  0wlkOn  41287  0pth-av  41292  0clWlk  41297  0Crct  41299  0Cycl  41300  eupth0  41381  eulerpathpr  41407
  Copyright terms: Public domain W3C validator