MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash0 13114
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0 (#‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 ∅ = ∅
2 0ex 4760 . . 3 ∅ ∈ V
3 hasheq0 13110 . . 3 (∅ ∈ V → ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
42, 3ax-mp 5 . 2 ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
51, 4mpbir 221 1 (#‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  c0 3897  cfv 5857  0cc0 9896  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13117  hashrabsn01  13118  hashrabsn1  13119  hashge0  13132  elprchashprn2  13140  hash1  13148  hashsn01  13160  hashgt12el  13166  hashgt12el2  13167  hashfzo  13172  hashfzp1  13174  hashxplem  13176  hashmap  13178  hashbc  13191  hashf1lem2  13194  hashf1  13195  hash2pwpr  13212  lsw0g  13308  ccatlid  13324  ccatrid  13325  s1nzOLD  13342  rev0  13466  repswsymballbi  13480  fsumconst  14469  incexclem  14512  incexc  14513  fprodconst  14652  sumodd  15054  hashgcdeq  15437  prmreclem4  15566  prmreclem5  15567  0hashbc  15654  ramz2  15671  cshws0  15751  psgnunilem2  17855  psgnunilem4  17857  psgn0fv0  17871  psgnsn  17880  psgnprfval1  17882  efginvrel2  18080  efgredleme  18096  efgcpbllemb  18108  frgpnabllem1  18216  gsumconst  18274  ltbwe  19412  fta1g  23865  fta1  24001  birthdaylem3  24614  ppi1  24824  musum  24851  rpvmasum  25149  umgrislfupgrlem  25946  lfuhgr1v0e  26073  uvtxa01vtx  26219  vtxdg0e  26290  vtxdlfgrval  26301  rusgr1vtxlem  26387  wspn0  26723  rusgrnumwwlkl1  26764  rusgr0edg  26769  0ewlk  26875  0wlk  26877  0wlkon  26881  0pth  26886  0clwlk  26891  0crct  26893  0cycl  26894  eupth0  26974  eulerpathpr  27000  f1ocnt  29442  esumcst  29948  cntmeas  30112  ballotlemfval0  30380  signsvtn0  30469  signstfvneq0  30471  signstfveq0  30476  signsvf0  30479  derangsn  30913  subfacp1lem6  30928  poimirlem25  33105  poimirlem26  33106  poimirlem27  33107  poimirlem28  33108  rp-isfinite6  37384  fzisoeu  39013
  Copyright terms: Public domain W3C validator