MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3s4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3s4 13476
Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3s4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)

Proof of Theorem s3s4
StepHypRef Expression
1 s2s2 13472 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩)
21eqcomi 2618 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
32oveq1i 6536 . 2 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
4 s2cli 13423 . . 3 ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
5 s3cli 13424 . . 3 ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6 df-s3 13393 . . 3 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
7 s1s3 13467 . . 3 ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
84, 5, 6, 7cats2cat 13406 . 2 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
9 s4s3 13474 . 2 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
103, 8, 93eqtr4ri 2642 1 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  (class class class)co 6526   ++ cconcat 13096  ⟨“cs2 13385  ⟨“cs3 13386  ⟨“cs4 13387  ⟨“cs7 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102  df-concat 13104  df-s1 13105  df-s2 13392  df-s3 13393  df-s4 13394  df-s5 13395  df-s6 13396  df-s7 13397
This theorem is referenced by:  s2s5  13477  konigsberglem1  41403  konigsberglem2  41404  konigsberglem3  41405
  Copyright terms: Public domain W3C validator