MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4prop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s4prop 13701
Description: A length 4 word is a union of two unordered pairs of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4prop (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Proof of Theorem s4prop
StepHypRef Expression
1 df-s4 13641 . 2 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝐴𝑆)
32adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐴𝑆)
4 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝐵𝑆)
54adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐵𝑆)
6 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → 𝐶𝑆)
76adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐶𝑆)
83, 5, 7s3cld 13663 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆)
9 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → 𝐷𝑆)
109adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐷𝑆)
11 cats1un 13521 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆𝐷𝑆) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
128, 10, 11syl2anc 694 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
13 df-s3 13640 . . . . . . 7 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
14 s2cl 13669 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
16 cats1un 13521 . . . . . . . 8 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
1715, 7, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
1813, 17syl5eq 2697 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
19 s2prop 13698 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
2120uneq1d 3799 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
2218, 21eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
2322uneq1d 3799 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
2412, 23eqtrd 2685 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
25 unass 3803 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
2625a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})))
27 df-pr 4213 . . . . 5 {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = ({⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})
28 s2len 13680 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2928a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (#‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2)
3029opeq1d 4439 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶⟩)
31 s3len 13685 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
3332opeq1d 4439 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩ = ⟨3, 𝐷⟩)
3430, 33preq12d 4308 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
3527, 34syl5eqr 2699 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ({⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
3635uneq2d 3800 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(#‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
3724, 26, 363eqtrd 2689 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
381, 37syl5eq 2697 1 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  ⟨“cs2 13632  ⟨“cs3 13633  ⟨“cs4 13634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641
This theorem is referenced by:  funcnvs4  13706  s4f1o  13709  s4dom  13710
  Copyright terms: Public domain W3C validator