Theorem sate0fv0 32685

Description: A simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model is an empty set. (Contributed by AV, 31-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sate0fv0	⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆 = ∅))

Proof of Theorem sate0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5204	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		satef 32684	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶∅)
3	1, 2	mp3an1 1443	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶∅)
4	3	ex 415	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆:ω⟶∅))
5		f00 6554	. . 3 ⊢ (𝑆:ω⟶∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ ω = ∅))
6	5	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑆:ω⟶∅ → 𝑆 = ∅)
7	4, 6	syl6 35	1 ⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3491  ∅c0 4284  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ωcom 7573  Fmlacfmla 32605   Sat_∈ csate 32606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-ac2 9878

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-card 9361  df-ac 9535  df-goel 32608  df-gona 32609  df-goal 32610  df-sat 32611  df-sate 32612  df-fmla 32613

This theorem is referenced by: (None)