HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmodsi 27426
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1 𝐴S
shmod.2 𝐵S
shmod.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shmodsi (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶))
2 shmod.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 shmod.2 . . . . . . 7 𝐵S
42, 3shseli 27353 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶S
65sheli 27249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
72sheli 27249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
83sheli 27249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
9 hvsubadd 27112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
106, 7, 8, 9syl3an 1360 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
11 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
1210, 11syl6bb 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
13123expb 1258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
145, 2shsvsi 27404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐴))
155, 2shscomi 27400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶)
1614, 15syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶))
172, 5shlesb1i 27423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1817biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1918eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
2016, 19syl5ib 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝐶 → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
21 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2221biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2320, 22sylan9 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → 𝑦𝐶))
2423anim2d 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵𝑦𝐶)))
25 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐶))
2624, 25syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
2726ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2827com13 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2928ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3029anasss 677 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3113, 30sylbird 249 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3231imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
333, 5shincli 27399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐶) ∈ S
342, 33shsvai 27401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
35 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3634, 35syl5ibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3736expd 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3837com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3938ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4039imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4132, 40syld 46 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4241exp31 628 . . . . . . 7 (𝑧𝐶 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))))
4342rexlimdvv 3019 . . . . . 6 (𝑧𝐶 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
444, 43syl5bi 231 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4544com13 86 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑧𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4645impd 446 . . 3 (𝐴𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
471, 46syl5bi 231 . 2 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4847ssrdv 3574 1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  (class class class)co 6527  chil 26954   + cva 26955   cmv 26960   S csh 26963   + cph 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-grpo 26525  df-ablo 26577  df-hvsub 27006  df-hlim 27007  df-sh 27242  df-ch 27256  df-shs 27345
This theorem is referenced by:  shmodi  27427
  Copyright terms: Public domain W3C validator