Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscom 28027
 Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem shscom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 27917 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2 shel 27917 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
31, 2anim12i 589 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝑦𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
43an4s 868 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5 ax-hvcom 27707 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
76eqeq2d 2631 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
872rexbidva 3049 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
9 rexcom 3091 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦))
108, 9syl6bb 276 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
11 shsel 28022 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
12 shsel 28022 . . . 4 ((𝐵S𝐴S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1312ancoms 469 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1410, 11, 133bitr4d 300 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴)))
1514eqrdv 2619 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  (class class class)co 6604   ℋchil 27625   +ℎ cva 27626   Sℋ csh 27634   +ℋ cph 27637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-grpo 27196  df-ablo 27248  df-hvsub 27677  df-sh 27913  df-shs 28016 This theorem is referenced by:  shsel2  28030  shsub2  28033  shscomi  28071  pjpjpre  28127  chscllem1  28345  chscllem2  28346  chscllem3  28347  chscllem4  28348
 Copyright terms: Public domain W3C validator