Theorem chscllem1 28624

Description: Lemma for chscl 28628. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛))
2		chscl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
5	4	ffvelrnda 6399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
6		chscl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
7		chsh 28209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
9		chsh 28209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
11		shocsh 28271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
13		chscl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14		shless 28346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
15	8, 12, 10, 13, 14	syl31anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
16		shscom 28306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
17	10, 8, 16	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
18		shscom 28306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19	10, 12, 18	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
20	15, 17, 19	3sstr4d 3681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
21	20	sselda 3636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
22	5, 21	syldan 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
23		pjpreeq 28385	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑛) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
24	3, 22, 23	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ↔ (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥))))
25	1, 24	mpbii 223	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑛) = (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) +ℎ 𝑥)))
26	25	simpld 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) ∈ 𝐴)
27		chscl.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
28	26, 27	fmptd 6425	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℕcn 11058   +_ℎ cva 27905   ⇝_𝑣 chli 27912   S_ℋ csh 27913   C_ℋ cch 27914  ⊥cort 27915   +_ℋ cph 27916  proj_ℎcpjh 27922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382

This theorem is referenced by:  chscllem2  28625  chscllem3  28626  chscllem4  28627