HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem1 27679
Description: Lemma for chscl 27683. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . . 4 ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛))
2 chscl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴C )
32adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴C )
4 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
54ffvelrnda 6150 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵))
6 chscl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵C )
7 chsh 27264 . . . . . . . . . 10 (𝐵C𝐵S )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵S )
9 chsh 27264 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C𝐴S )
102, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴S )
11 shocsh 27326 . . . . . . . . . 10 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ S )
13 chscl.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
14 shless 27401 . . . . . . . . 9 (((𝐵S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S𝐴S ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
158, 12, 10, 13, 14syl31anc 1320 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
16 shscom 27361 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1710, 8, 16syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
18 shscom 27361 . . . . . . . . 9 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐴) ∈ S ) → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
1910, 12, 18syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) + 𝐴))
2015, 17, 193sstr4d 3515 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
2120sselda 3472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
225, 21syldan 485 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴)))
23 pjpreeq 27440 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐻𝑛) ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐴))) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
243, 22, 23syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) = ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ↔ (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥))))
251, 24mpbii 221 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻𝑛) = (((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) + 𝑥)))
2625simpld 473 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)) ∈ 𝐴)
27 chscl.6 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
2826, 27fmptd 6175 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801  wss 3444   class class class wbr 4481  cmpt 4541  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  cn 10773   + cva 26960  𝑣 chli 26967   S csh 26968   C cch 26969  cort 26970   + cph 26971  projcpjh 26977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-hilex 27039  ax-hfvadd 27040  ax-hvcom 27041  ax-hvass 27042  ax-hv0cl 27043  ax-hvaddid 27044  ax-hfvmul 27045  ax-hvmulid 27046  ax-hvmulass 27047  ax-hvdistr1 27048  ax-hvdistr2 27049  ax-hvmul0 27050  ax-hfi 27119  ax-his2 27123  ax-his3 27124  ax-his4 27125
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-grpo 26480  df-ablo 26535  df-hvsub 27011  df-sh 27247  df-ch 27261  df-oc 27292  df-ch0 27293  df-shs 27350  df-pjh 27437
This theorem is referenced by:  chscllem2  27680  chscllem3  27681  chscllem4  27682
  Copyright terms: Public domain W3C validator