Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem1N 34063
Description: Lemma for osumclN 34074. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)

Proof of Theorem osumcllem1N
StepHypRef Expression
1 osumcllem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
2 osumcllem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 osumcllem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
42, 3sspadd1 33922 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
54adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
6 simpl1 1056 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ HL)
72, 3paddssat 33921 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
87adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . 8 = (⊥𝑃𝐾)
102, 92polssN 34022 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
116, 8, 10syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
12 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1311, 12syl6sseqr 3614 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑈)
145, 13sstrd 3577 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝑈)
15 simpr 475 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
1615snssd 4280 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝑈)
17 simpl2 1057 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑋𝐴)
182, 9polssatN 34015 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
196, 8, 18syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
202, 9polssatN 34015 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
216, 19, 20syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
2212, 21syl5eqss 3611 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈𝐴)
2316, 22sstrd 3577 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
24 eqid 2609 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
252, 24, 9polsubN 34014 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
266, 19, 25syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2712, 26syl5eqel 2691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))
282, 24, 3paddss 33952 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑈 ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
296, 17, 23, 27, 28syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → ((𝑋𝑈 ∧ {𝑝} ⊆ 𝑈) ↔ (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈))
3014, 16, 29mpbi2and 957 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝑈)
311, 30syl5eqss 3611 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → 𝑀𝑈)
32 sseqin2 3778 . 2 (𝑀𝑈 ↔ (𝑈𝑀) = 𝑀)
3331, 32sylib 206 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝑈) → (𝑈𝑀) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33371  HLchlt 33458  PSubSpcpsubsp 33603  +𝑃cpadd 33902  𝑃cpolN 34009  PSubClcpscN 34041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-padd 33903  df-polarityN 34010
This theorem is referenced by:  osumcllem2N  34064  osumcllem9N  34071
  Copyright terms: Public domain W3C validator