MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgvr1 19395
Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgvr1.x 𝑋 = (var1𝑅)
subrgvr1.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgvr1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
Assertion
Ref Expression
subrgvr1 (𝜑𝑋 = (var1𝐻))

Proof of Theorem subrgvr1
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . . . 4 (1𝑜 mVar 𝑅) = (1𝑜 mVar 𝑅)
2 1on 7428 . . . . 5 1𝑜 ∈ On
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
4 subrgvr1.r . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
5 subrgvr1.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
61, 3, 4, 5subrgmvr 19225 . . 3 (𝜑 → (1𝑜 mVar 𝑅) = (1𝑜 mVar 𝐻))
76fveq1d 6087 . 2 (𝜑 → ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅) = ((1𝑜 mVar 𝐻)‘∅))
8 subrgvr1.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
98vr1val 19326 . 2 𝑋 = ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)
10 eqid 2606 . . 3 (var1𝐻) = (var1𝐻)
1110vr1val 19326 . 2 (var1𝐻) = ((1𝑜 mVar 𝐻)‘∅)
127, 9, 113eqtr4g 2665 1 (𝜑𝑋 = (var1𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  c0 3870  Oncon0 5623  cfv 5787  (class class class)co 6524  1𝑜c1o 7414  s cress 15639  SubRingcsubrg 18542   mVar cmvr 19116  var1cv1 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-subg 17357  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-subrg 18544  df-mvr 19121  df-vr1 19315
This theorem is referenced by:  evls1var  19466  evls1varsrng  19468
  Copyright terms: Public domain W3C validator