MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supexpr 9732
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 9730 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
2 ltrelpr 9676 . . . . . . . . 9 <P ⊆ (P × P)
32brel 5079 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
43simpld 473 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
54ralimi 2935 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦P)
6 dfss3 3557 . . . . . 6 (𝐴P ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦P)
75, 6sylibr 222 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
87rexlimivw 3010 . . . 4 (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
98adantl 480 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
10 suplem2pr 9731 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
1110simpld 473 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦))
1211ralrimiv 2947 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦)
1310simprd 477 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1413ralrimivw 2949 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1512, 14jca 552 . . 3 (𝐴P → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
169, 15syl 17 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17 breq1 4580 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 𝐴<P 𝑦))
1817notbid 306 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ 𝐴<P 𝑦))
1918ralbidv 2968 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦))
20 breq2 4581 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦<P 𝑥𝑦<P 𝐴))
2120imbi1d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2221ralbidv 2968 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2319, 22anbi12d 742 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))))
2423rspcev 3281 . 2 (( 𝐴P ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
251, 16, 24syl2anc 690 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873   cuni 4366   class class class wbr 4577  Pcnp 9537  <P cltp 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-mi 9552  df-lti 9553  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-ltp 9663
This theorem is referenced by:  supsrlem  9788
  Copyright terms: Public domain W3C validator