MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem1pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplem1pr 9912
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem1pr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suplem1pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9858 . . . . . . . . 9 <P ⊆ (P × P)
21brel 5202 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
32simpld 474 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
43ralimi 2981 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦P)
5 dfss3 3625 . . . . . 6 (𝐴P ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦P)
64, 5sylibr 224 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
76rexlimivw 3058 . . . 4 (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
87adantl 481 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
9 n0 3964 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
10 ssel 3630 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝑧𝐴𝑧P))
11 prn0 9849 . . . . . . . . . 10 (𝑧P𝑧 ≠ ∅)
12 0pss 4046 . . . . . . . . . 10 (∅ ⊊ 𝑧𝑧 ≠ ∅)
1311, 12sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑧P → ∅ ⊊ 𝑧)
14 elssuni 4499 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴𝑧 𝐴)
15 psssstr 3746 . . . . . . . . 9 ((∅ ⊊ 𝑧𝑧 𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
1613, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑧P𝑧𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
1716expcom 450 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → (𝑧P → ∅ ⊊ 𝐴))
1810, 17sylcom 30 . . . . . 6 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴))
1918exlimdv 1901 . . . . 5 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴))
209, 19syl5bi 232 . . . 4 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ⊊ 𝐴))
21 prpssnq 9850 . . . . . . 7 (𝑥P𝑥Q)
2221adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴P𝑥P) → 𝑥Q)
23 ltprord 9890 . . . . . . . . . 10 ((𝑦P𝑥P) → (𝑦<P 𝑥𝑦𝑥))
24 pssss 3735 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑥𝑦𝑥)
2523, 24syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((𝑦P𝑥P) → (𝑦<P 𝑥𝑦𝑥))
262, 25mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥𝑦𝑥)
2726ralimi 2981 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
28 unissb 4501 . . . . . . 7 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2927, 28sylibr 224 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 𝐴𝑥)
30 sspsstr 3745 . . . . . . 7 (( 𝐴𝑥𝑥Q) → 𝐴Q)
3130expcom 450 . . . . . 6 (𝑥Q → ( 𝐴𝑥 𝐴Q))
3222, 29, 31syl2im 40 . . . . 5 ((𝐴P𝑥P) → (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 𝐴Q))
3332rexlimdva 3060 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 𝐴Q))
3420, 33anim12d 585 . . 3 (𝐴P → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∅ ⊊ 𝐴 𝐴Q)))
358, 34mpcom 38 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∅ ⊊ 𝐴 𝐴Q))
36 prcdnq 9853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑥𝑧) → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧))
3736ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧P → (𝑥𝑧 → (𝑦 <Q 𝑥𝑦𝑧)))
3837com3r 87 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑧P → (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
3910, 38sylan9 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑦 <Q 𝑥) → (𝑧𝐴 → (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
4039reximdvai 3044 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑦 <Q 𝑥) → (∃𝑧𝐴 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑧))
41 eluni2 4472 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥𝑧)
42 eluni2 4472 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑦𝑧)
4340, 41, 423imtr4g 285 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑦 <Q 𝑥) → (𝑥 𝐴𝑦 𝐴))
4443ex 449 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑥 𝐴𝑦 𝐴)))
4544com23 86 . . . . . 6 (𝐴P → (𝑥 𝐴 → (𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴)))
4645alrimdv 1897 . . . . 5 (𝐴P → (𝑥 𝐴 → ∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴)))
47 eluni 4471 . . . . . 6 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑥𝑧𝑧𝐴))
48 prnmax 9855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑥𝑧) → ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦)
4948ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧P → (𝑥𝑧 → ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦))
5010, 49syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (𝑧𝐴 → (𝑥𝑧 → ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦)))
5150com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝑥𝑧 → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦)))
5251imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑥𝑧) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦))
53 ssrexv 3700 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝐴 → (∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5414, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∃𝑦𝑧 𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5552, 54sylcom 30 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑥𝑧) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5655expimpd 628 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥𝑧𝑧𝐴) → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5756exlimdv 1901 . . . . . 6 (𝐴P → (∃𝑧(𝑥𝑧𝑧𝐴) → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5847, 57syl5bi 232 . . . . 5 (𝐴P → (𝑥 𝐴 → ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
5946, 58jcad 554 . . . 4 (𝐴P → (𝑥 𝐴 → (∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴) ∧ ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦)))
6059ralrimiv 2994 . . 3 (𝐴P → ∀𝑥 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴) ∧ ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
618, 60syl 17 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∀𝑥 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴) ∧ ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦))
62 elnp 9847 . 2 ( 𝐴P ↔ ((∅ ⊊ 𝐴 𝐴Q) ∧ ∀𝑥 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥𝑦 𝐴) ∧ ∃𝑦 𝐴𝑥 <Q 𝑦)))
6335, 61, 62sylanbrc 699 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1521  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  wpss 3608  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  Qcnq 9712   <Q cltq 9718  Pcnp 9719  <P cltp 9723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-om 7108  df-ni 9732  df-nq 9772  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-ltp 9845
This theorem is referenced by:  supexpr  9914
  Copyright terms: Public domain W3C validator