Theorem brel 5617

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5111	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5601	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 220	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066   × cxp 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561

This theorem is referenced by:  brab2a  5644  soirri  5986  sotri  5987  sotri2  5989  sotri3  5990  ndmovord  7338  ndmovordi  7339  swoer  8319  brecop2  8391  ecopovsym  8399  ecopovtrn  8400  hartogslem1  9006  nlt1pi  10328  indpi  10329  nqerf  10352  ordpipq  10364  lterpq  10392  ltexnq  10397  ltbtwnnq  10400  ltrnq  10401  prnmadd  10419  genpcd  10428  nqpr  10436  1idpr  10451  ltexprlem4  10461  ltexpri  10465  ltaprlem  10466  prlem936  10469  reclem2pr  10470  reclem3pr  10471  reclem4pr  10472  suplem1pr  10474  suplem2pr  10475  supexpr  10476  recexsrlem  10525  addgt0sr  10526  mulgt0sr  10527  mappsrpr  10530  map2psrpr  10532  supsrlem  10533  supsr  10534  ltresr  10562  dfle2  12541  dflt2  12542  dvdszrcl  15612  letsr  17837  hmphtop  22386  brtxp2  33342  brpprod3a  33347  brxrn2  35642