MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0 13480
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5180 . . . 4 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5180 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3 swrdval 13462 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4 fzonlt0 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
54biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
65con2d 129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
76impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8 ss0 4007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
97, 8nsyl 135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10 dm0 5371 . . . . . . . . . . . . 13 dom ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1211sseq2d 3666 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
139, 12mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1413iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15 0ss 4005 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ⊆ ∅
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
174biimpac 502 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1916, 17, 183sstr4d 3681 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
2019iftrued 4127 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
21 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
22 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
23 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
2423bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
2521, 22, 24syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
26 fzo0n 12529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2725, 26bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2827biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
2928mpteq1d 4771 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
3029dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
31 ral0 4109 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
32 dmmptg 5670 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3430, 33eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
35 mptrel 5281 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
36 reldm0 5375 . . . . . . . . . . . 12 (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3920, 38eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
4014, 39pm2.61ian 848 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41403adant1 1099 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
423, 41eqtrd 2685 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43423expb 1285 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
442, 43sylan2b 491 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
451, 44sylbi 207 . . 3 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
46 df-substr 13335 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅))
47 ovex 6718 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
4847mptex 6527 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))) ∈ V
49 0ex 4823 . . . . 5 ∅ ∈ V
5048, 49ifex 4189 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
5146, 50dmmpt2 7285 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
5245, 51eleq2s 2748 . 2 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
53 df-ov 6693 . . 3 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
54 ndmfv 6256 . . 3 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
5553, 54syl5eq 2697 . 2 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5652, 55pm2.61i 176 1 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  ..^cfzo 12504   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-substr 13335
This theorem is referenced by:  cshword  13583  pfx0  41710  cshword2  41762
  Copyright terms: Public domain W3C validator