Theorem swrd0 14020

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5591	. . . 4 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5591	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		swrdval 14005	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4		fzonlt0 13061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
5	4	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
6	5	con2d 136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	6	impcom 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8		ss0 4352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9	7, 8	nsyl 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10		dm0 5790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ∅ = ∅
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
12	11	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
13	9, 12	mtbird 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
14	13	iffalsed 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15		ssidd 3990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
16	4	biimpac 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
17	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
18	15, 16, 17	3sstr4d 4014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
19	18	iftrued 4475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22		lenlt 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
23	22	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
24	20, 21, 23	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
25		fzo0n 13060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
26	24, 25	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
27	26	biimpac 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
28	27	mpteq1d 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
29	28	dmeqd 5774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30		ral0 4456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31		dmmptg 6096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
33	29, 32	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34		mptrel 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35		reldm0 5798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
37	33, 36	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
38	19, 37	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
39	14, 38	pm2.61ian 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40	39	3adant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41	3, 40	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
42	41	3expb 1116	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43	2, 42	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
44	1, 43	sylbi 219	. . 3 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
45		df-substr 14003	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
46		ovex 7189	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
47	46	mptex 6986	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
48		0ex 5211	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
49	47, 48	ifex 4515	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
50	45, 49	dmmpo 7769	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
51	44, 50	eleq2s 2931	. 2 ⊢ (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
52		df-ov 7159	. . 3 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
53		ndmfv 6700	. . 3 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
54	52, 53	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
55	51, 54	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ifcif 4467  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  dom cdm 5555  Rel wrel 5560  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1^st c1st 7687  2^nd c2nd 7688  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034   substr csubstr 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-substr 14003

This theorem is referenced by:  pfx0  14037  cshword  14153