MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0 13232
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5060 . . . 4 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5060 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3 swrdval 13215 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4 fzonlt0 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
54biimprd 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
65con2d 127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
76impcom 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8 ss0 3925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
97, 8nsyl 133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10 dm0 5247 . . . . . . . . . . . . 13 dom ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1211sseq2d 3595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
139, 12mtbird 313 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1413iffalsed 4046 . . . . . . . . 9 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15 0ss 3923 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ⊆ ∅
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
174biimpac 501 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1916, 17, 183sstr4d 3610 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
2019iftrued 4043 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
21 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
22 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
23 lenlt 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
2423bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
2521, 22, 24syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
26 fzo0n 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2725, 26bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2827biimpac 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
2928mpteq1d 4660 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
3029dmeqd 5235 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
31 ral0 4027 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
32 dmmptg 5535 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3430, 33eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
35 mptrel 5158 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
36 reldm0 5251 . . . . . . . . . . . 12 (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3834, 37mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3920, 38eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
4014, 39pm2.61ian 826 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41403adant1 1071 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
423, 41eqtrd 2643 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43423expb 1257 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
442, 43sylan2b 490 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
451, 44sylbi 205 . . 3 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
46 df-substr 13104 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅))
47 ovex 6555 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
4847mptex 6368 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))) ∈ V
49 0ex 4713 . . . . 5 ∅ ∈ V
5048, 49ifex 4105 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
5146, 50dmmpt2 7106 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
5245, 51eleq2s 2705 . 2 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
53 df-ov 6530 . . 3 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
54 ndmfv 6113 . . 3 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
5553, 54syl5eq 2655 . 2 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5652, 55pm2.61i 174 1 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035  cop 4130   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  dom cdm 5028  Rel wrel 5033  cfv 5790  (class class class)co 6527  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  cr 9791  0cc0 9792   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cz 11210  ..^cfzo 12289   substr csubstr 13096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-substr 13104
This theorem is referenced by:  cshword  13334  pfx0  40046  cshword2  40098
  Copyright terms: Public domain W3C validator