Theorem sylow3lem2 18753

Description: Lemma for sylow3 18758, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup 𝐾 in the group action ⊕ acting on all of 𝐺 is the normalizer N_G(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem2	⊢ (𝜑 → 𝐻 = 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem2

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
2	1	ssrab3 4057	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑋
3		sseqin2 4192	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝑁) = 𝑁)
4	2, 3	mpbi 232	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑁) = 𝑁
5		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
6		sylow3lem2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
7	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8		mptexg 6984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ∈ V)
9		rnexg 7614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ∈ V)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ∈ V)
11		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
12		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
13	12	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
14	13, 12	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))
15	11, 14	mpteq12dv 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
16	15	rneqd 5808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
17		sylow3lem1.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
18	16, 17	ovmpoga 7304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
19	5, 7, 10, 18	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑁) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
21		slwsubg 18735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	6, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24		sylow3.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
25		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
26		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) = (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))
28	24, 25, 26, 27, 1	conjnmz 18392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑢 ∈ 𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
29	23, 28	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑁) → 𝐾 = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
30	20, 29	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑁) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾)
31		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾) → 𝑢 ∈ 𝑋)
32		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾)
33	19	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑢 ⊕ 𝐾) = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
34	32, 33	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐾 = ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
35	34	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))))
36		ovex 7189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 + 𝑤) ∈ V
37		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) ↔ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
38	37	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) → (∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
39	27	rnmpt 5827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐾 𝑣 = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)}
40	36, 38, 39	elab2 3670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))
41		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))
42		sylow3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
43	42	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝐺 ∈ Grp)
44		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
45	24	subgss 18280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
46	22, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
47	46	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
48		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝑧 ∈ 𝐾)
49	47, 48	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
50	24, 25, 26	grpaddsubass 18189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 − 𝑢)))
51	43, 44, 49, 44, 50	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) = (𝑢 + (𝑧 − 𝑢)))
52	41, 51	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑢 + (𝑧 − 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
53	24, 26	grpsubcl 18179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑧 − 𝑢) ∈ 𝑋)
54	43, 49, 44, 53	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑧 − 𝑢) ∈ 𝑋)
55		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → 𝑤 ∈ 𝑋)
56	24, 25	grplcan 18161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑧 − 𝑢) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + (𝑧 − 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 − 𝑢) = 𝑤))
57	43, 54, 55, 44, 56	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → ((𝑢 + (𝑧 − 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑧 − 𝑢) = 𝑤))
58	52, 57	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑧 − 𝑢) = 𝑤)
59	24, 25, 26	grpsubadd 18187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 − 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
60	43, 49, 44, 55, 59	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → ((𝑧 − 𝑢) = 𝑤 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑧))
61	58, 60	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) = 𝑧)
62	61, 48	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
63	62	rexlimdvaa 3285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (∃𝑧 ∈ 𝐾 (𝑢 + 𝑤) = ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
64	40, 63	syl5bi 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
65		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)
66		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → (𝑢 + 𝑧) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
67	66	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑤 + 𝑢) → ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) − 𝑢))
68		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) − 𝑢) ∈ V
69	67, 27, 68	fvmpt 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) − 𝑢))
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) − 𝑢))
71	42	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Grp)
72		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑢 ∈ 𝑋)
73		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → 𝑤 ∈ 𝑋)
74	24, 25	grpass 18112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
75	71, 72, 73, 72, 74	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑢 + (𝑤 + 𝑢)))
76	75	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) − 𝑢) = ((𝑢 + (𝑤 + 𝑢)) − 𝑢))
77	24, 25	grpcl 18111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
78	71, 72, 73, 77	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋)
79	24, 25, 26	grppncan 18190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) − 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
80	71, 78, 72, 79	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (((𝑢 + 𝑤) + 𝑢) − 𝑢) = (𝑢 + 𝑤))
81	70, 76, 80	3eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) = (𝑢 + 𝑤))
82		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢) ∈ V
83	82, 27	fnmpti 6491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) Fn 𝐾
84		fnfvelrn 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) Fn 𝐾 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
85	83, 65, 84	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → ((𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))‘(𝑤 + 𝑢)) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
86	81, 85	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)))
87	86	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾 → (𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢))))
88	64, 87	impbid 214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ ran (𝑧 ∈ 𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) − 𝑢)) ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
89	35, 88	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
90	89	anassrs 470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
91	90	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾))
92	1	elnmz 18315	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑁 ↔ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑢 + 𝑤) ∈ 𝐾 ↔ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐾)))
93	31, 91, 92	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) ∧ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾) → 𝑢 ∈ 𝑁)
94	30, 93	impbida 799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 ∈ 𝑁 ↔ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾))
95	94	rabbi2dva 4194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑁) = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾})
96	4, 95	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾})
97		sylow3lem2.h	. 2 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
98	96, 97	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556   Fn wfn 6350  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  Fincfn 8509  ℙcprime 16015  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273   pSyl cslw 18655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-slw 18659

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18754