Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 18244
 Description: Lemma for sylow3 18248, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8426 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 slwsubg 18225 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 17796 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
8 selpw 4309 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
109ssriv 3748 . . . . 5 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
11 ssfi 8345 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
123, 10, 11sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
13 hashcl 13339 . . . 4 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11545 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℂ)
16 sylow3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1917, 5, 18nmzsubg 17836 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
215, 20eqger 17845 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2322qsss 7975 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
24 ssfi 8345 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
253, 23, 24syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
26 hashcl 13339 . . . 4 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11545 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℂ)
2916, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3130subg0cl 17803 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
32 ne0i 4064 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
3329, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑𝑁 ≠ ∅)
345subgss 17796 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑋)
36 ssfi 8345 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
371, 35, 36syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
38 hashnncl 13349 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((♯‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4033, 39mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ)
4140nncnd 11228 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℂ)
4240nnne0d 11257 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑁) ≠ 0)
43 sylow3.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 sylow3lem1.d . . . . 5 = (-g𝐺)
45 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 18242 . . . 4 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
47 sylow3lem2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
48 sylow3lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
49 eqid 2760 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
50 eqid 2760 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
515, 48, 49, 50orbsta2 17947 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)))
5246, 47, 1, 51syl21anc 1476 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)))
535, 20, 29, 1lagsubg2 17856 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
5450, 5gaorber 17941 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5655ecss 7955 . . . . . 6 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺))
5747adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
58 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
591adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 18241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
61 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 𝐾) = = (𝑢 𝐾))
62 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6357adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
64 mptexg 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
65 rnexg 7263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
67 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
68 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
6968oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
7069, 68oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
7167, 70mpteq12dv 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7271rneqd 5508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7372, 45ovmpt2ga 6955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7462, 63, 66, 73syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7574eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ( = (𝑢 𝐾) ↔ = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7661, 75syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 𝐾) = = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7776rexbidva 3187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ↔ ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7860, 77mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = )
7950gaorb 17940 . . . . . . . . . 10 (𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ))
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1429 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
81 elecg 7952 . . . . . . . . . 10 (( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8258, 57, 81syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8380, 82mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8483ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8584ssrdv 3750 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8656, 85eqssd 3761 . . . . 5 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = (𝑃 pSyl 𝐺))
8786fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)))
885, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 18243 . . . . 5 (𝜑𝐻 = 𝑁)
8988fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝑁))
9087, 89oveq12d 6831 . . 3 (𝜑 → ((♯‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (♯‘𝐻)) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (♯‘𝑁)))
9152, 53, 903eqtr3rd 2803 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (♯‘𝑁)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
9215, 28, 41, 42, 91mulcan2ad 10855 1 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323   class class class wbr 4804  {copab 4864   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815   Er wer 7908  [cec 7909   / cqs 7910  Fincfn 8121   · cmul 10133  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ♯chash 13311  ℙcprime 15587  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789   ~QG cqg 17791   GrpAct cga 17922   pSyl cslw 18147 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-ga 17923  df-od 18148  df-pgp 18150  df-slw 18151 This theorem is referenced by:  sylow3lem4  18245
 Copyright terms: Public domain W3C validator