MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 17960
Description: Lemma for sylow3 17964, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8206 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 slwsubg 17941 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 17511 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
8 selpw 4142 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
109ssriv 3592 . . . . 5 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
11 ssfi 8125 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
123, 10, 11sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
13 hashcl 13084 . . . 4 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11298 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℂ)
16 sylow3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1917, 5, 18nmzsubg 17551 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2626 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
215, 20eqger 17560 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2322qsss 7754 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
24 ssfi 8125 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
253, 23, 24syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
26 hashcl 13084 . . . 4 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11298 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℂ)
2916, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 eqid 2626 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3130subg0cl 17518 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
32 ne0i 3902 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
3329, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑𝑁 ≠ ∅)
345subgss 17511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑋)
36 ssfi 8125 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
371, 35, 36syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
38 hashnncl 13094 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4033, 39mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ)
4140nncnd 10981 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℂ)
4240nnne0d 11010 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ≠ 0)
43 sylow3.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 sylow3lem1.d . . . . 5 = (-g𝐺)
45 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 17958 . . . 4 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
47 sylow3lem2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
48 sylow3lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
49 eqid 2626 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
50 eqid 2626 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
515, 48, 49, 50orbsta2 17663 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
5246, 47, 1, 51syl21anc 1322 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
535, 20, 29, 1lagsubg2 17571 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
5450, 5gaorber 17657 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5655ecss 7734 . . . . . 6 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺))
5747adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
58 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
591adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 17957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
61 eqcom 2633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 𝐾) = = (𝑢 𝐾))
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6357adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
64 mptexg 6439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
65 rnexg 7046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
67 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
68 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
6968oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
7069, 68oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
7167, 70mpteq12dv 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7271rneqd 5317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7372, 45ovmpt2ga 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7462, 63, 66, 73syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7574eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ( = (𝑢 𝐾) ↔ = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7661, 75syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 𝐾) = = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7776rexbidva 3047 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ↔ ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7860, 77mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = )
7950gaorb 17656 . . . . . . . . . 10 (𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ))
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
81 elecg 7731 . . . . . . . . . 10 (( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8258, 57, 81syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8380, 82mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8483ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8584ssrdv 3594 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8656, 85eqssd 3605 . . . . 5 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = (𝑃 pSyl 𝐺))
8786fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) = (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)))
885, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 17959 . . . . 5 (𝜑𝐻 = 𝑁)
8988fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) = (#‘𝑁))
9087, 89oveq12d 6623 . . 3 (𝜑 → ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)) = ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)))
9152, 53, 903eqtr3rd 2669 . 2 (𝜑 → ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
9215, 28, 41, 42, 91mulcan2ad 10608 1 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155   class class class wbr 4618  {copab 4677  cmpt 4678  ran crn 5080  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607   Er wer 7685  [cec 7686   / cqs 7687  Fincfn 7900   · cmul 9886  cn 10965  0cn0 11237  #chash 13054  cprime 15304  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  -gcsg 17340  SubGrpcsubg 17504   ~QG cqg 17506   GrpAct cga 17638   pSyl cslw 17863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-pc 15461  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-eqg 17509  df-ghm 17574  df-ga 17639  df-od 17864  df-pgp 17866  df-slw 17867
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  17961
  Copyright terms: Public domain W3C validator