Theorem grpass 17352

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17350	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 17223	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 488	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +_gcplusg 15862  Mndcmnd 17215  Grpcgrp 17343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4749

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-iota 5810  df-fv 5855  df-ov 6607  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346

This theorem is referenced by:  grprcan  17376  grprinv  17390  grpinvid1  17391  grpinvid2  17392  grplcan  17398  grpasscan1  17399  grpasscan2  17400  grplmulf1o  17410  grpinvadd  17414  grpsubadd  17424  grpaddsubass  17426  grpsubsub4  17429  dfgrp3  17435  grplactcnv  17439  imasgrp  17452  mulgaddcomlem  17484  mulgaddcom  17485  mulgdirlem  17493  issubg2  17530  isnsg3  17549  nmzsubg  17556  ssnmz  17557  eqger  17565  eqgcpbl  17569  qusgrp  17570  conjghm  17612  conjnmz  17615  subgga  17654  cntzsubg  17690  sylow1lem2  17935  sylow2blem1  17956  sylow2blem2  17957  sylow2blem3  17958  sylow3lem1  17963  sylow3lem2  17964  lsmass  18004  lsmmod  18009  lsmdisj2  18016  gex2abl  18175  ringcom  18500  lmodass  18799  psrgrp  19317  evpmodpmf1o  19861  ghmcnp  21828  qustgpopn  21833  cnncvsaddassdemo  22871  ogrpaddltbi  29501  ogrpaddltrbid  29503  ogrpinvlt  29506  archiabllem2c  29531  lfladdass  33837  dvhvaddass  35863