Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tpr2tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpr2tp 31047
Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
tpr2tp.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
tpr2tp (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Proof of Theorem tpr2tp
StepHypRef Expression
1 tpr2tp.0 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 23301 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2909 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 txtopon 22129 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
53, 3, 4mp2an 688 1 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105   × cxp 5547  ran crn 5550  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525  (,)cioo 12728  topGenctg 16701  TopOnctopon 21448   ×t ctx 22098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12732  df-topgen 16707  df-top 21432  df-topon 21449  df-bases 21484  df-tx 22100
This theorem is referenced by:  tpr2uni  31048  sxbrsigalem4  31445  sxbrsiga  31448
  Copyright terms: Public domain W3C validator