Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlator0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlator0 34276
Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlator0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2778 . . . 4 ((𝑅𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅𝐹) = 0 )
2 eqid 2606 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 trl0a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 trl0a.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexnle 34110 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
65ad2antrr 757 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7 simplll 793 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpr 475 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9 simpllr 794 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹𝑇)
10 simplr 787 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
117adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplr 787 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
139adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
14 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
15 trl0a.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0.‘𝐾)
16 trl0a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 trl0a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
182, 15, 3, 4, 16, 17trl0 34275 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = 0 )
1911, 12, 13, 14, 18syl112anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = 0 )
2019ex 448 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = 0 ))
2120necon3d 2799 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2210, 21mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)
232, 3, 4, 16, 17trlat 34274 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
247, 8, 9, 22, 23syl112anc 1321 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
256, 24rexlimddv 3013 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
2625ex 448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
271, 26syl5bir 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ (𝑅𝐹) = 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2827orrd 391 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) = 0 ∨ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2928orcomd 401 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wrex 2893   class class class wbr 4574  cfv 5787  lecple 15718  0.cp0 16803  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LHypclh 34088  LTrncltrn 34205  trLctrl 34263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-map 7720  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264
This theorem is referenced by:  trlatn0  34277  cdlemg31b0a  34801  trlcone  34834  cdlemkfid1N  35027  tendoex  35081  dia2dimlem2  35172  dia2dimlem3  35173
  Copyright terms: Public domain W3C validator