MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ublbneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ublbneg 11725
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4621 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏𝑎𝑦𝑎))
21cbvralv 3162 . . . 4 (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
32rexbii 3035 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
4 breq2 4622 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (𝑦𝑎𝑦𝑥))
54ralbidv 2981 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
65cbvrexv 3163 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73, 6bitri 264 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
8 renegcl 10296 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
9 elrabi 3346 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → 𝑦 ∈ ℝ)
10 negeq 10225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → -𝑧 = -𝑦)
1110eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
1211elrab3 3351 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑦𝐴))
1312biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴))
149, 13mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴)
15 breq1 4621 . . . . . . . . 9 (𝑏 = -𝑦 → (𝑏𝑎 ↔ -𝑦𝑎))
1615rspcv 3294 . . . . . . . 8 (-𝑦𝐴 → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1714, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
19 lenegcon1 10484 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
209, 19sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
2118, 20sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑎𝑦))
2221ralrimdva 2964 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
23 breq1 4621 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑎𝑦))
2423ralbidv 2981 . . . . 5 (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
2524rspcev 3298 . . . 4 ((-𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
268, 22, 25syl6an 567 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦))
2726rexlimiv 3021 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
287, 27sylbir 225 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911   class class class wbr 4618  cr 9887  cle 10027  -cneg 10219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221
This theorem is referenced by:  supminf  11727
  Copyright terms: Public domain W3C validator