MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf2 24132
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 24131 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
2 ovex 6675 . . . . . 6 (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
3 zex 11383 . . . . . 6 ℤ ∈ V
42, 3elpm2 7886 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
54simplbi 476 . . . 4 (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
76adantl 482 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 fndm 5988 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
98adantr 481 . . 3 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
109feq2d 6029 . 2 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
117, 10mpbid 222 1 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572   class class class wbr 4651  dom cdm 5112   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  𝑚 cmap 7854  pm cpm 7855  cc 9931  cz 11374  𝑢culm 24124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-map 7856  df-pm 7857  df-neg 10266  df-z 11375  df-uz 11685  df-ulm 24125
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24148  ulmdvlem2  24149  ulmdvlem3  24150  mtestbdd  24153  mbfulm  24154  iblulm  24155  itgulm  24156  itgulm2  24157  lgamgulm2  24756  lgamcvglem  24760
  Copyright terms: Public domain W3C validator