Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinfi 11765
 Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinfi.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzinfi inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinfi.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 ltso 10115 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4 zre 11378 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 uzid 11699 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluz2 11690 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
74adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 zre 11378 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107, 9lenltd 10180 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
1110biimp3a 1431 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
1211a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
136, 12sylbi 207 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
1413impcom 446 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
153, 4, 5, 14infmin 8397 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
161, 15ax-mp 5 1 inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651   Or wor 5032  ‘cfv 5886  infcinf 8344  ℝcr 9932   < clt 10071   ≤ cle 10072  ℤcz 11374  ℤ≥cuz 11684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-neg 10266  df-z 11375  df-uz 11685 This theorem is referenced by:  nninf  11766  nn0inf  11767
 Copyright terms: Public domain W3C validator