MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem7 26632
Description: Lemma for wlkp1 26634. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem7 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑁))
3 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
42, 3eqeq12d 2666 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁)))
5 wlkp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7 wlkp1.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
8 wlkp1.a . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
9 wlkp1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 wlkp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
11 wlkp1.d . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12 wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13 wlkp1.n . . . . . 6 𝑁 = (#‘𝐹)
14 wlkp1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15 wlkp1.u . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 wlkp1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 wlkp1.s . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18wlkp1lem5 26630 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
20 wlkcl 26567 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
2113eqcomi 2660 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = 𝑁
2221eleq1i 2721 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
23 nn0fz0 12476 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2422, 23sylbb 209 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2512, 20, 243syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
264, 19, 25rspcdva 3347 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁))
2717fveq1i 6230 . . . . 5 (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑁 + 1) ∈ V
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem1 26626 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30 fsnunfv 6494 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3128, 10, 29, 30mp3an2i 1469 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3227, 31syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3326, 32preq12d 4308 . . 3 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃𝑁), 𝐶})
34 fsnunfv 6494 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
359, 14, 11, 34syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
361, 33, 353sstr4d 3681 . 2 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
375, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16wlkp1lem3 26628 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
3836, 37sseqtr4d 3675 1 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  0cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  Walkscwlks 26548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wlks 26551
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  26633
  Copyright terms: Public domain W3C validator