Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlksoneq1eq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlksoneq1eq2 26429
 Description: Two walks with identical sequences of vertices start and end at the same vertices. (Contributed by AV, 14-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlksoneq1eq2 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem wlksoneq1eq2
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wlkonprop 26423 . 2 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
31wlkonprop 26423 . 2 (𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)))
4 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
54eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐴 = (𝑃‘0))
6 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → (𝑃‘0) = 𝐶)
75, 6sylan9eqr 2677 . . . . . . . 8 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐴 = 𝐶)
8 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
98eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐵 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
109adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = (𝑃‘(#‘𝐹)))
11 wlklenvm1 26387 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1))
12 wlklenvm1 26387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
13 eqtr3 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) ∧ (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
1413fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) ∧ (#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻)))
1514ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
17163ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐻) = ((#‘𝑃) − 1) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
1911, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
20193ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻))))
2120imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐻)))
22 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)
2310, 21, 223eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → 𝐵 = 𝐷)
247, 23jca 554 . . . . . . 7 (((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
2524ex 450 . . . . . 6 ((𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
26253ad2ant3 1082 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
2726com12 32 . . . 4 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
28273ad2ant3 1082 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
2928imp 445 . 2 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐻 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐶 ∧ (𝑃‘(#‘𝐻)) = 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
302, 3, 29syl2an 494 1 ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐻(𝐶(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   − cmin 10210  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  Walkscwlks 26362  WalksOncwlkson 26363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-wlks 26365  df-wlkson 26366 This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  26614
 Copyright terms: Public domain W3C validator